Question

【题目】对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为.例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和，，所以.

（1）计算：，；

（2）小明在计算时发现几个结果都为正整数，小明猜想所有的均为正整数，你觉得这个猜想正确吗？请判断并说明理由；

（3）若，都是“相异数”，其中，（，，、都是正整数），当时，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）10；12.（2）猜想正确.理由见解析；（3）.

【解析】

（1）根据“相异数”的定义即可求解；

（2）设的三个数位数字分别为，，，根据“相异数”的定义列出即可求解；

（3）根据，都是“相异数”，得到，，根据求出x，y的值即可求解.

（1）；

.

（2）猜想正确.设的三个数位数字分别为，，，即，

.

因为，，均为正整数，所以任意为正整数.

（3）∵，都是“相异数”，

∴；

.

∵，∴，

∴，

∵，，且，都是正整数，

∴或或或，

∵是“相异数”，∴；

∵是“相异数”，∴，

∴满足条件的有，或，或，

∴ 或或，

∴的最大值为.