Question

已知O为正方形ABCD的中心，以AB为斜边作Rt△ABE，连OA、OE，若AE=2，OE=3

2

，则正方形ABCD面积为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：根据正方形的性质可得OA=OD，∠OAB=∠ADO=45°，作出图形，将△ABE绕点O逆时针旋转90°得到△DAE′，根据旋转的性质可得DE′=AE，∠BAE=∠ADE′，再求出∠OAE=∠ODE′，连接OE′，利用“边角边”证明△AOE和△DOE′全等，根据全等三角形对应边相等可得OE′=OE，全等三角形对应角相等可得∠AOE=∠DOE′，判断出△OEE′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的

2

倍求出EE′，然后分点E在正方形的内部和外部两种情况判断出A、E、E′三点共线，并求出AE′，利用勾股定理列式求出AD²，即为正方形的面积．

解答：解：将△ABE绕点O逆时针旋转90°得到△DAE′，
由旋转的性质得，DE′=AE=2，∠BAE=∠ADE′，
∵∠OAE=∠BAE-∠OAB=∠BAE-45°，
∠ODE′=∠ADE′-∠ADO=∠ADE′-45°，
∴∠OAE=∠ODE′，
连接OE′，
在△AOE和△DOE′中，

AB=AD ∠OAE=∠ODE′ AE=DE′

，
∴△AOE≌△DOE′（SAS），
∴OE′=OE，∠AOE=∠DOE′，
∴∠EOE′=∠DOE′+∠DOE=∠AOE+∠DOE=∠AOD=90°，
∴△OEE′是等腰直角三角形，
∴EE′=

2

OE=

2

×3

2

=6，

如图1，若点E在正方形的内部，∵∠ADE′+∠DAE′=90°，
∠BAE+∠DAE=90°，
∴∠DAE′=∠DAE，
∴A、E、E′三点共线，
∴AE′=AE+EE′=2+6=8，
在Rt△ADE′中，AD²=AE′²+DE′²=8²+2²=68，
∴正方形ABCD的面积=68；
如图2，点E在正方形的外部，∵∠BAE+∠DAE′+∠BAD=∠BAE+∠ABE+90°=90°+90°=180°，
∴A、E、E′三点共线，
∴AE′=EE′-AE=6-2=4，
在Rt△ADE′中，AD²=AE′²+DE′²=4²+2²=20，
∴正方形ABCD的面积=20，
综上所述，正方形ABCD的面积为68或20．
故答案为：68或20．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的关键，注意要分情况讨论．