题目内容

已知正比例函数y=x和反比例函数 $数学公式$ 的图象都经过点A（3，3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA绕点O顺时针旋转得到直线l，当直线l过点B（3， $数学公式$ ）时，求∠AOB的度数；
（3）点P在y轴上，若△AOP是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

解：（1）将A（3，3）代入反比例函数解析式得：k=9，
∴y= $\text{[math]}$ ；

（2）∵正比例函数y=x，直线l：y= $\text{[math]}$ x，
∴正比例函数倾斜角为45°，直线l倾斜角为30°，
∴∠AOB=15°；

（3）作出线段OA的垂直平分线，与y轴交于P₁点，
∵A（3，3），
∴OA=3 $\text{[math]}$ ，
∵∠AOP₁=45°，
∴OP₁= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =3，即P₁（0，3）；
以A为圆心，OA长为半径画弧，与y轴交于两点，即为点P₂与P₃；，
过A作AC⊥y轴，以y轴交于C点，可得出AC=OC=3，
∴P₂C=OC=3，即OP₂=6，
∴P₂（0，6）；
∵OA=OP₃=3 $\text{[math]}$ ，
∴P₃（0，-3 $\text{[math]}$ ）．
综上，满足题意P的坐标为（0，3）或（0，6）或（0，-3 $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）将A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例函数解析式；
（2）求出直线OA的倾斜角，以及直线l的倾斜角，相减即可求出∠AOB的度数；
（3）以A为圆心，OA长为半径画弧，与y轴交于两点，即为点P；做出选段OA的垂直平分线，与y轴交于P点，写出所有满足题意P的坐标即可．
点评：此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，线段垂直平分线，直线的倾斜角，以及待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．