Question

【题目】如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为点D，交AB于点E，且AD=AC，EC交AD于点F，下列说法：

①△ABC∽△FDC；②点F是线段AD的中点；③S△AEF：S△AFC=1：4；④若CE平分∠ACD，则∠B=30°，其中正确的结论有_____（填写所有正确结论的序号）．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】解：∵AD=AC，

∴∠FDC=∠ACB，

∵DE垂直平分BC，

∴EB=EC，

∴∠B=∠ECB，

∴△ABC∽△FCD，故①正确；

∵△ABC∽△FCD，

∴，

∴DF=AC=AD，故②正确；

如图，过F作FG∥BC交AB于G，则

∵F是AD的中点，

∴，

∴GF=BD=BC，

∵GF∥BC，

∴，

∴EF=EC，即EF=CF，

∴EF：FC=1：3，

∴S△AEF：S△AFC=1：3，故③错误；

∵CF平分∠ACD，

∴∠ACE=∠BCE=∠B，

设∠ACE=∠BCE=∠B=α，则∠ACD=2α=∠ADC，

∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=α，

∴∠B=∠BAD，

∴BD=AD=CD，

∴∠DAC=∠DCA=2α，

∵△ABC中，∠B+∠BAC+∠BCA=180°，

∴α+（a+2α）+2α=180°，

∴α=30°，即∠B=30°，故④正确；

故答案为：①②④．