题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点A（12，0），K（4，0）过点A的直线y=kx-4交y轴于点N．过K点且垂直于x轴的直线与过A点的直线y=2x+b交于点M．
（1）试判断△AMN的形状，并说明理由；
（2）将AN所在的直线l向上平移．平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E．当直线l平移时（包括l与直线AN重合），在直线MK上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）△AMN的形状是等腰直角三角形，
理由是：∵y=kx-4过点A（12，0）．
∴k= $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ x-4，
∴N（0，-4），

把A（12，0）代入y=2x+b得b=-24，
∴直线AM为y=2x-24，
当x=4时，y=-16，
∴M（4，-16），
∴AM²=（12-4）²+16²=320，
AN²=12²+4²=160，
MN²=4²+（16-4）²=160，
∴AN²+MN²=160+160=320=AM²，
AN=MN．
∴△AMN是等腰直角三角形．

（2）解：∵y=kx-4过点A（12，0）．
∴k= $\text{[math]}$ ，
∵直线l与y=x-4平行，
∴设直线l的解析式为y= $\text{[math]}$ x+b．
则它与x轴的交点D（-3b，0），与y轴交点E（0，b）．
∴OD=3OE．
（Ⅰ）以点E为直角顶点时，
①根据题意，点M（4，-16）符合要求；
②过P作PQ⊥y轴，
当△PDE为等腰直角三角形时，
有Rt△ODE≌Rt△QEP．
∴OE=PQ=4，QE=OD．
∵在Rt△ODE中，OD=3OE，
∴OD=12，QE=12．
∴OQ=8．
∴点P的坐标为（4，-8）
（Ⅱ）以点D为直角顶点．
同理得到P（4，6）．
综上所得：满足条件的P的坐标为（4，-16），（4，-8），（4，6）
分析：（1）△AMN的形状是等腰直角三角形，理由是：由题意得N（0，-4）把A（12，0）代入y=2x+b求出直线AMy=2x-24，求出M（4，-16），根据勾股定理求出AM²、AN²、MN²，得到AN²+MN²=AM²和AN=MN即可；
（2）存在，把A（12，0）代入y=kx-4．求出k，设直线l的解析式为y= $\text{[math]}$ x+b．（Ⅰ）以点E为直角顶点如图1．①根据题意，点M（4，-16）符合要求；②过P作PQ⊥y轴．证Rt△ODE≌Rt△QEP．得到OE=PQ=4，QE=OD．求出OQ=8即可；（Ⅱ）以点D为直角顶点．同理得到P（4，6）；综合以上结论即可得出答案．
点评：本题主要考查对等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，图形的平移的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．分类讨论思想的运用．