Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）是第一象限内一点，连接OA，将OA绕点A逆时针旋转90°得到线段AB，若反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象恰好同时经过点A、B，则k的值为2+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AO=AB，利用AAS得出三角形AOE与三角形ABD全等，由确定三角形的对应边相等得到BD=AE=m，AD=OE=2，进而表示出ED及OE+BD的长，即可表示出B坐标；由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，于是得到结论．

解答 解：过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAE+∠BAD=90°，
∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠BAD=∠AOE，
在△AOE和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠BAD}\\{∠AEO=∠BDA=90°}\\{AO=BA}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BAD（AAS），
∴AE=BD=m，OE=AD=2，
∴DE=m-2，OE+BD=m+2，
则B（m+2，m-2）；
∵A与B都在反比例图象上，得到2m=（m+2）（m-2），
解得：m=1+$\sqrt{5}$（负值舍去），
∴A（2，1+$\sqrt{5}$），
∴k=2+2$\sqrt{5}$．
故答案为：2+2$\sqrt{5}$．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．