Question

某剧院举行专场音乐会，成人票每张 20 元，学生票每张 5 元，暑假期间，为了丰富广大师生的 业余文化生活，剧院制定了两种优惠方案，方案一：购买一张成人票赠送一张学生票；方案二：按 总价的 90%付款，某校有 4 名老师与若干名（不少于 4 人）学生听音乐会．

^{（1）设学生人数为 x（人），分别求出方案一、方案二的付款总金额 y}1^、y2^{（元）与 x 的函数表达} 式； 学生人数在什么范围内，两种方案费用一样？人数在什么范围内，选方案一较划算？人数在什么范 围内，选方案二较划算？

Answer 1

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）首先根据优惠方案①：付款总金额=购买成人票金额+除去 4 人后的学生票金额； 优惠方案②：付款总金额=（购买成人票金额+购买学生票金额）×打折率，列出 y 关于 x 的函数关 系式， 根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论．

【解答】解：（1）按优惠方案一可得 ^y1^{=20×4+（x﹣4）×5=5x+60（x≥4），} 按优惠方案二可得 ^y2^{=（5x+20×4）×90%=4.5x+72（x≥4）；}

^∵y1^﹣y2^{=0.5x﹣12（x≥4），}

^{①当 y}1^﹣y2^{=0 时，得 0.5x﹣12=0，解得 x=24，}

^∴当购买 24 张票时，两种优惠方案付款一样多；

^{②当 y}1^﹣y2^{＜0 时，得 0.5x﹣12＜0，解得 x＜24，}

^{∴4≤x＜24 时，y}1^＜y2^{，选方案一较划算；}

^{③当 y}1^﹣y2^{＞0 时，得 0.5x﹣12＞0，解得 x＞24， 当 x＞24 时，y}1^＞y2^{，选方案二较划算．}

（注：学生没写 x≥4，不扣分）

【点评】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案 的解析式，进而计算出临界点 x 的取值，再进一步讨论．