Question

如图，AD是△ABC的角平分线，画AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E和F．
（1）尺规作图，保留画图痕迹，并连接线段DE和DF；
（2）判断四边形AEDF是何特殊四边形，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）如图所示：


（2）四边形AEDF是菱形，
理由：∵AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF，
∴AE=DE，AF=DF，∠EAD=∠FAD，∠EOA=∠FOA，
∵在△AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴AE=AF，
∴AE=DE=AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形．
分析：（1）根据垂直平分线的作法得出E，F位置，进而得出线段DE和DF；
（2）利用垂直平分线的性质得出AE=DE，AF=DF，进而利用全等三角形的判定得出△AEO≌△AFO，得出AE=DE=AF=DF，即可得出四边形的形状．
点评：此题主要考查了菱形的判定以及全等三角形的判定和垂直平分线的作法等知识，根据已知得出AE=AF是解题关键．