题目内容
【题目】直线AB∥CD，点P在其所在平面上，且不在直线AB，CD，AC上，设∠PAB=α，∠PCD=β，∠APC=γ(α，β，γ，均不大于180°，且不小于0°)．
（1）如图1，当点P在两条平行直线AB，CD之间、直线AC的右边时试确定α，β，γ的数量关系；
（2）如图2，当点P在直线AB的上面、直线AC的右边时试确定α，β，γ的数量关系；
（3）α，β，γ的数量关系除了上面的两种关系之外，还有其他的数量关系，请直接写出这些．
【答案】（1）γ=α+β；（2）γ=β-α；（3）γ=α-β，γ=β-α，γ=360°-β-α．
【解析】
（1）如图1中，结论：γ=α+β．作PE∥AB，利用平行线的性质解决问题即可；
（2）如图2中，结论：γ=β-α．作PE∥AB，利用平行线的性质解决问题即可；
（3）分四种情形分别画出图形，利用平行线的性质解决问题即可．
（1）如图1中，结论：γ=α+β．
理由：作PE//AB．
∵AB//CD，
∴PE//CD，
∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠PCD，
∴γ=α+β；
（2）如图2中，结论：γ=β-α．
理由：作PE//AB．
∵AB//CD，
∴PE//CD，
∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠APE，
∴γ=β-α．
（3）如图3中，有γ=α-β．
理由：作PE//AB．
∵AB//CD，
∴PE//CD，
∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠CPE，
∴∠APC=∠APE-∠CPE，
∴γ=α-β．
如图4中，有γ=β-α．
理由：作PE//AB．
∵AB//CD，
∴PE//CD，
∴∠NCP=∠CPE，∠PAM=∠APE，
∴∠APC=∠APE-∠CPE，
=(180°-α)-(180°-β)
=β-α，
∴γ=β-α．
如图5中，有γ=360°-β-α．
理由：作PE//AB．
∵AB//CD，
∴PE//CD，
∴∠BAP+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∴∠BAP+∠APE+∠PCD+∠CPE=360°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD =360°，
∴γ+β+α==360°，
∴γ=360°-β-α．
如图6中，有γ=α-β．
理由：作PE//AB．
∵AB//CD，
∴PE//CD，
∴∠MAP=∠APE，∠PCN=∠CPE，
∴∠APC=-∠CPE-∠APE，
=(180°-β)-(180°-α)
∴γ=α-β．
综上所述：γ=α-β，γ=β-α，γ=360°-β-α．
