Question

 已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．

Answer 1

解：⑴因为直线BF垂直于CE于点F,所以∠CFB=90°，

所以∠ECB+∠CBF=90°.

又因为∠ACE +∠ECB=90°，所以∠ACE =∠CBF .

因为AC=BC, ∠ACB=90°，所以∠A=∠CBA=45°.

又因为点D是AB的中点，所以∠DCB=45°.

因为∠ACE =∠CBF，∠DCB=∠A，AC=BC，

所以△CAE≌△BCG，所以AE=CG.

(2)BE=CM,证明：∵ ∠ACB=90°,∴ ∠ACH +∠BCF=90°.

∵ CH⊥AM，即∠CHA=90°,

∴ ∠ACH +∠CAH=90°,∴ ∠BCF=∠CAH.

∵ CD为等腰直角三角形斜边上的中线,∴ CD=AD.∴ ∠ACD=45°.

△CAM与△BCE中,BC=CA ,∠BCF=∠CAH,∠CBE=∠ACM,

∴ △CAM ≌△BCE,∴ BE=CM.