Question

3．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，BC=CD，E是AD延长线上一点，若DE=AB=3cm，CE=4$\sqrt{2}$cm，连接AC，BD．
（1）求证：△BCD∽△ACE；
（2）试求出线段AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE，然后根据“边角边”得出AC=CE进而得出结论；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AC=EC，全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠ECD，然后求出∠ACE=90°，得到△ACE是等腰直角三角形，求出AE的长度，再根据AD=AE-DE代入数据进行计算即可得解．

解答 解：（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，
∴∠B+∠ADC=180°，
又∵∠CDE+∠ADE=180°，
∴∠B=∠CDE，
在△ABC和△EDC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{∠B=∠CDE}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EDC（SAS）；
∴AC=CE，
∵BC=CD
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{EC}$，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴△BCD∽△ACE．
（2）解：∵△ABC≌△EDC，
∴AC=EC，∠ACB=∠ECD，
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠ECD+∠ACD=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∵CE=4$\sqrt{2}$cm，
∴AE=4$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=8cm，
∴AD=AE-DE=8-3=5cm．

点评 此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等的关键，也是本题的难点．