Question

【题目】如图，在菱形紙片ABCD中，AB＝2．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点B′处（不与A，D重合），点C落在C′处，线段B′C′与直线CD交于点G，折痕为EF，则下列说法：①若∠A＝90，B′为AD中点时，AE＝；②若∠A＝60°，B′为AD中点时，点E恰好是AB的中点；③若∠A＝60°，C′F⊥CD时，，其中正确的是（　　）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

①证出四边形ABCD是正方形，得出AB＝AD，设AE＝x，则B'E＝BE＝2x，在Rt△AB'E中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②连接BD、BE'，证出△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠AB'B＝90°，∠ABB'＝30°，证出△AB'E是等边三角形，得出AE＝B'E＝BE即可；

③设CF＝x，由折叠的性质得：C'F＝CF＝x，∠C'＝∠C＝∠A＝60°，得出∠C'GF＝30°，得出C'G＝2C'F＝2x，GF＝C'F＝x，则DG＝CDGFCF＝2xx，证出DB'＝DG，作DH⊥B'C'于H，则B'H＝GH＝12B'G＝12（22x）＝1x，得出DG＝，得出方程＝2﹣x﹣x，解得x＝4﹣2，得出CF＝4﹣2，FD＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2，即可得出结果．

①∵∠A＝90°，四边形ABCD是菱形，

∴四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，

∵B′为AD中点时，

∴AB'＝1，

设AE＝x，则B'E＝BE＝2﹣x，

在Rt△AB'E中，由勾股定理得：12+x2＝（2﹣x）2，

解得：x＝，①正确；

②连接BD、BE'，如图：

∵∠A＝60°，AB＝AD，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠ABD＝60°，

∵B′为AD中点，

∴∠AB'B＝90°，∠ABB'＝30°∵BE＝B'E，

∴∠BB'E＝∠ABB'＝30°，

∴∠AB'E＝60°，

∴△AB'E是等边三角形，

∴AE＝B'E＝BE，

∴点E是AB的中点，②正确；

③设CF＝x，

由折叠的性质得：C'F＝CF＝x，∠C'＝∠C＝∠A＝60°，

∵C′F⊥CD，

∴∠C'GF＝30°，

∴C'G＝2C'F＝2x，GF＝C'F＝x，

∴DG＝CD﹣GF﹣CF＝2﹣x﹣x，

∵∠D＝180°﹣∠A＝120°，∠DGB'＝∠C'GF＝30°，

∴∠DB'G＝30°，

∴DB'＝DG，

设BD交B'C'于H，则B'H＝GH＝B'G＝（2﹣2x）＝1﹣x，

∴DG＝，∴＝2﹣x﹣x，

解得：x＝4﹣2，

∴CF＝4﹣2，FD＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2，

∴，③正确；

故选：D．