题目内容
已知如图，矩形OABC的长OA=
，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△AFC．（1）求过A、F、C三点的抛物线解析式；
（2）设（1）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，若以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标；
（3）若动点P以每秒
个单位长度的速度从C点出发沿CB 向终点B运动，同时动点Q从A点出发以每秒
个单位长度的速度沿射线AO运动，当P运动到B点时，P，Q同时停止运动．当点P运动时间t（秒）为何值时，以P、C、O为顶点的三角形与以Q、O、C为顶点的三角形相似？
【答案】分析：（1）根据矩形的边长求得点F的坐标，利用待定系数法求得抛物线的解析式即可；
（2）首先求得抛物线与x轴的交点E的坐标，然后分当DN∥EM且DN=EM时和当M在E点右侧时求得M、N的坐标即可；
（3）若以P、C、Q为顶点的三角形与△QOC相似，因∠POC=∠QCO=90°，则有CQ=OP或OC2=CQ•OP．然后分当P、Q在y轴同侧时和当P、Q在y轴异侧时利用相似三角形的性质列出有关t的方程求解即可．
解答：解：
（1）∵OA=
，OC=1，
∴tan∠OAC=
．
∴∠OAC=30°∠ACF=∠ACO=60°…（1分）
过F作FM⊥OA于M，交CB于G，则FG⊥CD．
∠GCF=30°，GF=
CF=
OC=
．
CG=
．
∴F（
，
）…（2分）
设过 A、B、C三点抛物线解析式为y=ax2+bx+c．
∴c=1
∴
…（3分）
解之，得
∴
．…（4分）
（2）∵由
，得x1=
，x2=
．
∴E（
，0）…（5分）
由
，得x1=0，x2=
．
∴D（
，1）．…（6分）
①当DN∥EM且DN=EM时，当M在E点左侧时，M1（
，0），此时N1（0，1）…（7分）
当M在E点右侧时，OM2=
．
∴M2（
，0），此时N2（0，1）…（8分）
②当ED∥MN且ED=MN时，过D作DH⊥OA于H，M3（
，0），N3（0，-1）…（9分）
（3）若以P、C、Q为顶点的三角形与△QOC相似，因∠POC=∠QCO=90°，则有
CQ=OP或OC2=CQ•OP．
当P、Q在y轴同侧时：
由
，得t=
．…（10分）
由
，得 2t2-2t+1=0．
△=4-8=-4＜0，故无解．
当P、Q在y轴异侧时：
由
，得t=3＞
，不合题意，舍去…（11分）
由
，得2t2-2t-1=0.
＜0舍去，
∴t=
或
…（12分）
点评：本题考查了二次函数的综合知识，往往是中考题的压轴题，难度相对比较大．解决此类问题时充分考虑各种情况是解决此类题目的关键．
（2）首先求得抛物线与x轴的交点E的坐标，然后分当DN∥EM且DN=EM时和当M在E点右侧时求得M、N的坐标即可；
（3）若以P、C、Q为顶点的三角形与△QOC相似，因∠POC=∠QCO=90°，则有CQ=OP或OC2=CQ•OP．然后分当P、Q在y轴同侧时和当P、Q在y轴异侧时利用相似三角形的性质列出有关t的方程求解即可．
解答：解：
（1）∵OA=，OC=1，∴tan∠OAC=
．∴∠OAC=30°∠ACF=∠ACO=60°…（1分）
过F作FM⊥OA于M，交CB于G，则FG⊥CD．
∠GCF=30°，GF=
CF=OC=．CG=
．∴F（
，）…（2分）设过 A、B、C三点抛物线解析式为y=ax2+bx+c．
∴c=1
∴
…（3分）解之，得
∴
．…（4分）（2）∵由
，得x1=，x2=．∴E（
，0）…（5分）由
，得x1=0，x2=．∴D（
，1）．…（6分）①当DN∥EM且DN=EM时，当M在E点左侧时，M1（
，0），此时N1（0，1）…（7分）当M在E点右侧时，OM2=
．∴M2（
，0），此时N2（0，1）…（8分）②当ED∥MN且ED=MN时，过D作DH⊥OA于H，M3（
，0），N3（0，-1）…（9分）（3）若以P、C、Q为顶点的三角形与△QOC相似，因∠POC=∠QCO=90°，则有
CQ=OP或OC2=CQ•OP．
当P、Q在y轴同侧时：
由
，得t=．…（10分）由
，得 2t2-2t+1=0．△=4-8=-4＜0，故无解．
当P、Q在y轴异侧时：
由
，得t=3＞，不合题意，舍去…（11分）由
，得2t2-2t-1=0.＜0舍去，∴t=
或…（12分）点评：本题考查了二次函数的综合知识，往往是中考题的压轴题，难度相对比较大．解决此类问题时充分考虑各种情况是解决此类题目的关键．
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