题目内容

如图:点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.将线段OC绕点C按顺时针方向旋转60°得到线段CD,连接OD、AD.
(1)求证:AD=BO;
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:当α为多少度时(直接写出答案),△AOD是等腰三角形?
分析:(1)由旋转的性质就可以得出△BOC≌△ADC就可以得出AD=BO;
(2)由旋转可以得出 OC=DC,∠DCO=60°,就可以得出△ODC是等边三角形,就可以得出∠ODC=60°,从而得出∠ADO=90°,而得出△AOD的形状;
(3)由条件可以表示出∠AOC=250°-a,就有∠AOD=190°-a,∠ADO=a-60°,当∠DAO=∠DOA,∠AOD=ADO或∠OAD=∠ODA时分别求出a的值即可.
解答:解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,∠ACB=60°
∵OC绕点C按顺时针方向旋转60°,
∴△BOC≌△ADC,
∴AD=BO;

(2)△AOD是直角三角形.
理由:∵△BOC≌△ADC,
∴DC=OC.∠BOC=∠ADC=150°
∵∠DCO=60°,
∴△OCD是等边三角形.
∴∠ODC=60°
∴∠ADC=90°,
∴△AOD是直角三角形.

(3)∵∠AOB=110°,∠BOC=α
∴∠AOC=250°-a.
∵△OCD是等边三角形,
∴∠DOC=∠ODC=60°,
∴∠ADO=a-60°,∠AOD=190°-a,
当∠DAO=∠DOA时,
2(190°-a)+a-60°=180°,
解得:a=140°
当∠AOD=ADO时,
190°-a=a-60°,
解得:a=125°,
当∠OAD=∠ODA时,
190°-a+2(a-60°)=180°,
解得:a=110°
∴α=110°,α=140°,α=125°.
点评:本题考查了等边三角形的判定急性子的运用,旋转的性质的运用,直角三角形的判定,全等三角形的判定及性质的运用,等腰三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.
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