Question

11．如图，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a，b间的关系式一定满足（　　）

• A． ${a^2}≥\frac{1}{4}{b^2}$
• B． a²≥b²
• C． ${a^2}≥\frac{9}{4}{b^2}$
• D． a²≥4b²

Answer 1

分析 本题可结合方程思想来解答．由于△ABP和△DCP相似，可得出关于AB、PC、BP、CD的比例关系式．设PC=x，那么BP=a-x，根据比例关系式可得出关于x的一元二次方程，由于BC边上至少有一点符合条件的P点，因此方程的△≥0，由此可求出a、b的大小关系．

解答 解：若设PC=x，则BP=a-x，
∵△ABP∽△PCD，
∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{BP}{CD}$，即 $\frac{b}{x}$=$\frac{a-x}{b}$，
即x²-ax+b²=0方程有解的条件是：a²-4b²≥0，
∴a²≥4b²，
故选D.0，

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．