Question

20．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（-2，-1）、B（1，2）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求tan∠BAO的值．

Answer 1

分析 （1）将A、B两点坐标代入一次函数y=kx+b即可求得一次函数的解析式；
（2）过O作OM⊥AB于M，由y=x+1，求出C（-1，0），根据三角形的面积公式求出OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．由互相垂直的两条直线斜率之积为-1可得直线OM的解析式为y=-x，由OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得M点的坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），AM=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，然后根据正切函数的定义即可求出tan∠BAO=$\frac{OM}{AM}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{26}}{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

解答 解：（1）将A（-2，-1），B（1，2）分别代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=-1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$．
所以y=x+1；

（2）过O作OM⊥AB于M，如图．
∵y=x+1，
∴y=0时，x+1=0，x=-1，
∴C（-1，0）．
∵S_△AOB=S_△AOC+S_△COB=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×1×2=1.5，AB=$\sqrt{（1+2）^{2}+（2+1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$
∴$\frac{1}{2}$AB•OM=1.5，
∴OM=$\frac{2×1.5}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
过O作OM⊥AB于M，
∵直线AB的解析式为y=x+1，
∴直线OM的解析式为y=-x，
设M点的坐标为（x，-x），则OM=$\sqrt{2}$x，
∴$\sqrt{2}$x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴M点的坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∵A（-2，-1）、
∴AM=$\sqrt{（\frac{1}{2}+2）^{2}+（-\frac{1}{2}+1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
∴tan∠BAO=$\frac{OM}{AM}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{26}}{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，互相垂直的两条直线斜率之积为-1，锐角三角函数的定义，求出M点坐标是解题的关键．