Question

【题目】如图，在矩形中，，，为对角线上一点，且，过作，分别交、于、。动点从点出发，以每秒1个单位长的速度在射线上运动。动点从点出发，以每秒1个单位长的速度在线段上沿方向运动。以为边作等边。已知、两点同时出发，当点返回点时两点同时停止运动。运动时间为秒.

（1）求线段，当点落在线段上时等于多少；

（2）设运动过程中与矩形的重叠部分面积为，请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；

（3）将四边形绕点旋转一周，在此过程中，设直线分别与直线、交于点、，当是以为底角的等腰三角形时，求的长.

Answer 1

【答案】（1）线段BF=4，当点落在线段上时t=3；（2）见解析；（3）或，或.

【解析】

（1）根据矩形的性质，结合已知条件通过解直角三角形即可求解；

（2）分为四种情况，画出图形，求出各个三角形的面积，根据图形即可得出答案；

（3）先根据解直角三角形,求得BF的长,再根据旋转求得的长,最后根据四边形BCGF旋转后的两种不同位置进行讨论,求得DN的长.

（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=,

∴∠ABD=30，BD=，

∵DE=2BE，FG⊥BD，

∴DE=4，BE=2

∴；

∴当点R落在线段CD时，ΔPQR的高为，则底为6，所以t=3.

（2）四种情况如图所示图1，图2,图3，图4

图1所示，当时，，

图2所示，当时，，

图3 所示，当时，

图4所示，当时， ；

（3）由（1）得BF=4，由旋转可得BF'=BF=4，∠F'BC'=∠FBC=90°，∠BFG=∠BF'G'=60°，①如图5，当△DMN是以∠MDN，∠MND为底角的等腰三角形时，∠N=30°，

∴tan∠BNF'=，

∴，即BN=4，

∴DN=BD+BN=6+4=10；

②如图6，当△DMN是以∠MDN．∠NMD为底角的等腰三角形时，∠BNM=60°=∠BF'M，此时，F'与N重合，故BF'=BN=4，

∴DN=BD﹣BN=6﹣4．

故答案为：10或6﹣4