Question

如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在对角线BD上运动（B、D两点除外），线段PA绕点P顺时针旋转m°（0＜m＜180），得线段PQ．
（1）若点Q与点D重合，请在图中用尺规作出点P所处的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若点Q落在边CD上，且∠ADB=n°．
①探究m与n之间的数量关系；
②若点P在线段OB上运动，PQ=QD，求n的取值范围．（在备用图中探究）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据垂直平分线的性质和作法作出AD的垂直平分线即可；
（2）①利用旋转的性质得出PC=PQ，再利用菱形的性质得出∠3=∠PAD，进而求出∠PAD+∠PQD=180°，得出即可；
②利用PQ=QD，得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=2n°，进而利用∠BCD≥∠3≥∠ACD，得出180-2n≥2n≥90-n，求出即可．
解答：解：（1）如图1所示：作AD的垂直平分线，交BC于点P．

（2）①如图2，连接PC．
由PC=PQ，得∠3=∠4．
由菱形ABCD，得∠3=∠PAD．
所以得∠4=∠PAD，
而∠4+∠PQD=180°．
所以∠PAD+∠PQD=180°．
所以m+2n=180．

②解法一：∵PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=2n°．
而点P在线段BO上运动，
∴∠BCD≥∠3≥∠ACD，
∴180-2n≥2n≥90-n，
∴30≤n≤45．
解法二：由PQ=QD，可得∠QPD=∠1，
又∵∠1=∠2，
∴∠QPD=∠2，
∵点P在线段OB上运动，
∴∠ABC≤∠APQ且∠APQ≤90°+∠2（或∠ABC≤∠APQ≤90°+∠2）
即（2n≤180-2n≤90+n）
∴30≤n≤45．
点评：此题主要考查了垂直平分线的性质和菱形的性质以及外角的性质等知识，熟练利用相关知识得出对应角的关系是解题关键．