Question

14．如图，∠AOB=30°，P为∠AOB平分线上一点，PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA于点D，若PD+PC=12，则0C的长为8．

Answer 1

分析 过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POD=∠OPC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE=∠AOB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．

解答 解：如图，过点P作PE⊥OA于点E，
∵OP是∠AOB的平分线，
∴PE=PD，
∵PC∥OB，
∴∠POD=∠OPC，
∴∠PCE=∠POC+∠OPC=∠POC+∠POD=∠AOB=30°，
∴PC=2PE=2PD，
∵PD+PC=12，
∴PC=8，
∵∠POD=∠OPC，∠COP=∠DOP，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=PC=8，
故答案为：8．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造含30°角的直角三角形是解题的关键．