题目内容

凸四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD=∠BCD=90°，AB=2，CD=1，对角线AC、BD交于点O，如图．则sin∠AOB=________．

$\text{[math]}$
分析：由∠BAD=∠BCD=90°可知A、B、C、D四点共圆，欲求sin∠AOB，联想到托勒密定理，只须求出BC、AD即可．
解答：

解：∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴A、B、C、D四点共圆；
延长BA、CD交于P，
则∠ADP=∠ABC=60°，
AD=x，有AP= $\text{[math]}$ x，DP=2x，
由割线定理，得（2+ $\text{[math]}$ x） $\text{[math]}$ x=2x（1+2x），
解得AD=x=2 $\text{[math]}$ -2，BC= $\text{[math]}$ BP=4- $\text{[math]}$ ，
由托勒密定理有
BD•CA=（4- $\text{[math]}$ ）（2 $\text{[math]}$ -2）+2×1=10 $\text{[math]}$ -12．
又S_ABCD=S_△ABD+S_△BCD= $\text{[math]}$ ．
故sin∠AOB= $\text{[math]}$ ．
故本题答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了锐角三角函数值的求法，切割线定理，涉及解一元二次方程．关键是明确所求角的三角函数，将问题进行转化．

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9、边长都是质数的凸四边形ABCD中，AB∥CD，AB+BC=AD+DC=20．AB＞BC，则BC+AD=（　　）

定理：图1，如果∠ADB=∠ACB，那么四边形ABCD有外接圆，也叫做A，B，C，D四点共圆．（注：本定理不需要证明）
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如果将问题2中的点C“分离”成两个点，那么就有：
（2）图3，在凸四边形ABCD中，AD=BC，点E，F分别在线段AD，BC上运动（不与端点重合），而且DE=BF，直线AC，BD相交于点P，直线EF，BD相交于点Q，直线EF，AC相交于点R．当点E，F分别在线段AD，BC上运动（不与端点重合）时，探究△PQR的外接圆是否经过除点P外的另一个定点？如果是，请给出证明，并指出是哪个定点；如果不是，请说明理由．

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（1）共计能够成

个命题；
（2）写出三个真命题：
①如果

．
请选择上述三个命题中的一个写出它是真命题的理由：
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（填序号），理由如下：
（3）请写出一个假命题（不必说明理由）：
如果