Question

15．在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（4，3），动点M，N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP．下列说法①当点M运动了2秒时，点P的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）；②当点M运动$\frac{4}{3}$秒时，△NPC是等腰三角形；③当点N运动了2秒时，△NPC的面积将达到最大值．其中正确的有①②③．

Answer 1

分析 ①正确．只要求长中线CA的解析式，求出点P坐标即可判断；
②正确．延长MP交BC于E，只要证明CE=EN，PE⊥CN即可解决问题；
③正确．根据二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

解答 解：A（4，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
当t=2时，OM=2，
∴x=2时，y=-$\frac{3}{2}$+3=$\frac{3}{2}$，
∴点P的坐标为（2，$\frac{3}{2}$），故①正确，
当t=$\frac{4}{3}$时，OM=$\frac{4}{3}$，
∵CN=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
延长MP交BC于E，则四边形OMEC是矩形，
∴∠CEM=90°，
∴PE⊥CN，CE=OM=$\frac{4}{3}$，
∴CE=EN=$\frac{4}{3}$，
∴PC=PN，
∴△PCN是等腰三角形，故②正确，
易知S_△PCN=$\frac{1}{2}$（4-t）×[3-$\frac{3}{4}$（4-t）]=-$\frac{3}{8}$（t-2）²+$\frac{3}{2}$，
∵-$\frac{3}{8}$＜0，
∴t=2时，△PCN的面积最大，故③正确，
故答案为①②③

点评 本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题．