Question

18．如图1，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O．
（1）在图1中，你发现线段AC、BD的数量关系是AC=BD；直线AC、BD的位置关系是AC⊥BD．
（2）将图1的△OAB绕点O顺时针旋转90°角，在图2中画出旋转后的△OAB．
（3）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，连接AC、BD得到图3，这时（1）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，即可判断出AC=DB，直线AC、BD相交成角的度数是90°；
（2）根据题意画出图形即可；
（3）由SAS证明△ACO≌△BOD，即可证明两个结论仍然成立．

解答 解：（1）∵△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，且叠放在一起，
∴OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，
∴AC=BD，AC⊥BD，
即线段AC、BD的数量关系是相等，直线AC、BD的位置关系是互相垂直；
故答案为：AC=BD，AC⊥BD；
（2）如图2所示：
（3）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，（1）中的两个结论是否成立；理由如下：
∵旋转一个锐角后，∠COA+∠AOD=90°，∠BOD+∠AOD=90°，
∴∠COA=∠BOD，
在△COA和△DOB中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}&{\;}\\{∠COA=∠BOD}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD．
延长CA交OD于H，交BD于E，如图3所示：
∵△COA≌△DOB，
∴∠OCA=∠BDO，又∠DHE=∠CHO，
∴∠CED=∠COD=90°，
∴AC⊥BD；
将△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立．理由同上．

点评 本题是三角形综合题目，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．