Question

在图1至图2中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．

(1)如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM＝MH，FM⊥MH；

(2)将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵四边形BCGF和CDHN都是正方形， 　　又∵点N与点G重合，点M与点C重合， 　　∴FB＝BM＝MG＝MD＝DH，∠FBM＝∠MDH＝90°． 　　∴△FBM≌△MDH．∴FM＝MH． 　　∵∠FMB＝∠DMH＝45°，∴∠FMH＝90°． 　　∴FM⊥HM　　4分 　　(2)证明：连接MB、MD，如图，设FM与AC交于点P． 　　∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点， 　　∴MD∥BC，且MD＝BC＝BF；MB∥CD， 　　且MB＝CD＝DH． 　　∴四边形BCDM是平行四边形． 　　∴∠CBM＝∠CDM． 　　又∵∠FBP＝∠HDC，∴∠FBM＝∠MDH． 　　∴△FBM≌△MDH．∴FM＝MH，且∠MFB＝∠HMD． 　　∴∠FMH＝∠FMD－∠HMD＝∠APM－∠MFB＝∠FBP＝90°． 　　∴△FMH是等腰直角三角形　　8分