Question

如图，在等腰三角形Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M、N在斜边上，且∠MCN=45°，求证：MN²=AM²+BN²．

Answer 1

考点：勾股定理,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：根据等腰直角三角形的性质可得∠A=∠ABC=45°，把△AMC绕点C逆时针旋转90°得到△BDC，根据性质的性质可得AM=BD，CM=CD，∠BCD=∠ACM，∠CBD=∠A=45°，再求出∠DCN=45°，然后利用“边角边”证明△CMN和△DCN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=DN，再利用勾股定理列式即可得证．

解答：证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ABC=45°，
把△AMC绕点C逆时针旋转90°得到△BDC，
由旋转的性质得，AM=BD，CM=CD，∠BCD=∠ACM，∠CBD=∠A=45°，
∵∠MCN=45°，
∴∠DCN=∠BCD+∠BCN=∠ACM+∠BCN=90°-45°=45°，
∴∠DCN=∠MCN，
在△CMN和△DCN中，

CM=CD ∠DCN=∠MCN CN=CN

，
∴△CMN≌△DCN（SAS），
∴MN=DN，
∵∠NBD=∠ABC+∠CBD=45°+45°=90°，
∴△BDN是直角三角形，
∴DN²=BD²+BN²，
∴MN²=AM²+BN²．

点评：本题考查了勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．