Question

如图，函数y=-

1

2

x+6的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过点B的直线交x轴于C（4，0），试在直线BC上找一点P，使S_△ABP=S_△AOB，求P点坐标．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：先求出AB两点的坐标，再用待定系数法求出直线BC的解析式，求P点坐标时，要分图①和图②两种情况讨论．①求出AP的解析式，根据面积相等求出坐标；②根据S_△BOC=S_△APC时，S_△ABP=S_△AOB求解．

解答：解：∵函数y=-

1

2

x+6的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，
∴A（12，0），B（0，6），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵C（4，0），
∴

4k+b=0 b=6

，解得

k=- 3 2 b=6

，
∴直线BC的解析式为y=-

3

2

x+6．
下面求P点坐标：
（1）如图①设P点坐标为P（m，n），
设AP解析式为y=kx+b，
将A（12，0），P（m，n）代入解析式得，

12k+b=0 mk+b=n

，
解得

k= n m-12 b= -12n m-12

，
又∵n=-

3

2

m+6，
∴b=

18m-72

m-12

，
∴BD=

18m-72

m-12

-6=

12m

m-12

；
∴

1

2

BD•（-m）+

1

2

BD•12=36，
∴BD•（-m）+BD•12=72，
∴BD（12-m）=72，
∴

12m

m-12

•（12-m）=72，
-12m=72，
m=-6，
∴P（-6，15）．
（2）如图②，当S_△BOC=S_△APC时，
S_△ABP=S_△AOB，设P点纵坐标为t，
则

1

2

OC•BO=

1

2

AC•（-t），
∴4×6=（12-4）（-t），
解得t=-3，
将t=-3代入y=-

3

2

x+6得，-

3

2

x+6=-3，
解得x=6，
∴P（6，-6）．
综上所述，P点坐标为（-6，15）或（6，-6）．

点评：此题考查了待定系数法求函数的一次解析式及三角形的面积问题．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用