Question

如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB。

（1）求证：BC为⊙O的切线；

（2）如图②，连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G。若，求线段BC和EG的长。

 

Answer 1

【答案】

（1）连接OE，OC，先根据“SSS”证得△OBC≌△OEC，即可得到∠OBC=∠OEC，再根据切线的性质可得∠OEC=90，即可得到∠OBC=90，从而证得结果；（2）BC=，

【解析】

试题分析：（1）连接OE，OC，先根据“SSS”证得△OBC≌△OEC，即可得到∠OBC=∠OEC，再根据切线的性质可得∠OEC=90，即可得到∠OBC=90，从而证得结果；

（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得DA=DE，CE=CB，设BC为，则CF=x-2，DC=x+2，在Rt△DFC中，根据勾股定理即可列方程求得x的值，根据平行线的性质可得∠DAE=∠EGC，由DA=DE可得∠DAE=∠AED，再结合∠AED=∠CEG即可求得CG=CE=CB=，再根据勾股定理求得AG的长，然后证得△ADE∽△GCE，根据相似三角形的性质即可求得结果.

（1）连接OE，OC，

 

∵CB=CE，OB=OE，OC=OC，

∴△OBC≌△OEC，

∴∠OBC=∠OEC，

又∵与DE⊙O相切于点E，

∴∠OEC=90，

∴∠OBC=90，

∴BC为⊙的切线；

（2）过点D作DF⊥BC于点F，

∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B，

∴DA=DE，CE=CB，设BC为，则CF=x-2，DC=x+2，

在Rt△DFC中，，解得，

∵AD∥BG

∴∠DAE=∠EGC，

∵DA=DE

∴∠DAE=∠AED，

∵∠AED=∠CEG，

∴∠ECG=∠CEG。

∴CG=CE=CB=

∴BG=5，

∴

∵∠DAE="∠EGC" ，∠AED=∠CEG

∴△ADE∽△GCE，

∴，，解得.

考点：圆的综合题

点评：本题知识点多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，需仔细分析.