Question

11．如图，已知AB为⊙O的直径，弦BD平分∠ABH，过点D作DH⊥BH于点H，BH交⊙O于点C．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）小强同学通过探究发现：BH+CH=AB，请你帮助小强同学证明这一结论．

Answer 1

分析 （1）要证明DH是⊙O的切线，只要证明OD⊥DH即可．
（2）通过证得RT△BDE≌RT△BDH、RTABDE≌RT△CDH得出BH=BE、HC=AE，即可证得结论．

解答 证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠OBD=∠DBH，
∴∠ODB=∠DBH，
∴OD∥BH．
∵BH⊥DH，
∴OD⊥DH，
∴DH是⊙O的切线；

（2）过D作DE⊥AB于E，连接AD、DC，
∵BD平分∠ABH，DH⊥BH于点H，
∴DE=DH，
在RT△BDE和RT△BDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DH}\\{BD=BD}\end{array}\right.$
∴RT△BDE≌RT△BDH（HL），
∴BH=BE，
∵∠ABD=∠CBD，
∴AD=DC，
在RT△ADE和RT△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DH}\\{AD=DC}\end{array}\right.$
∴RTABDE≌RT△CDH（HL），
∴HC=AE，
∴BH+HC=BE+AE，
即BH+CH=AB．

点评 本题考查的是切线的判定、角平分线的性质、圆周角的性质、全等三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．