Question

11．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
①当点D在AC上时，如图（1），线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；
②将图（1）中的△ADE的位置改变一下，如图（2），使∠BAD=∠CAE，其他条件不变，则线段BD，CE又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）BD=CE，BD⊥CE，延长BD与EC交于点F，可以证明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，且∠BFE=90°，即可解答；
（2）BD=CE，BD⊥CE，延长BD交AC于F，交CE于H，可以证明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，利用三角形的内角和为180°，即可得到BD⊥CE．

解答 解：（1）BD=CE，BD⊥CE；
如图（1），延长BD与EC交于点F，

在△ACE和△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAC=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB，
∵∠ADB+∠ABD=90°
∴∠ABD+∠AEC=90°
∴∠BFE=90°，
∴BD⊥CE．
（2）结论：BD=CE，BD⊥CE，
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE，
如图（2），延长BD交AC于F，交CE于H．

在△ABF与△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC
∴∠CHF=∠BAF=90°
∴BD⊥CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE≌△ADB是解题的关键．