Question

如图，四边形ABDC中，∠ABD=∠BCD=Rt∠，AB=AC，AE⊥BC于点F，交BD于点E．且BD=15，CD=9．点P从点A出发沿线段AE方向向E点运动，过点P作PQ⊥AB于Q，连接FQ，设AP=x，（x＞0）．
（1）求证：BC•BE=AC•CD．
（2）设四边形ACDP的面积为y，求y关于x的函数解析式．
（3）是否存在点P，使△PQF为等腰三角形？若存在，请求出满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据条件由两角对应相等，两三角形相似就可以由相似三角形的性质得出结论，
（2）由条件根据勾股定理求出AB的值，根据等腰三角形的三线合一的性质就可以求出CF的值，由AE∥CD可以得出四边形ACDP的形状为梯形或平行四边形，由其民间公式就可以求出结论；
（3）根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质及直角三角形的性质分类讨论就可以求出结论．

解答：解：（1）∵∠ABD=∠BCD=Rt∠，AF⊥BC
∴AE∥CD
∴∠AEB=∠D
∴△ABE～△BCD
∴AB：BC=BE：CD  
∵AB=AC
∴BC•BE=AC•CD； 

（2）∵BD=15，CD=9
∴CB=

152-92

=12
∵AB=AC，AF⊥BC
∴BF=FC=6
∵AE∥CD
∴BE=ED=

1

2

BD=

15

2

，△ABE∽△BCD
∴

AB

BC

=

BE

CD

∴

AB

12

=

7.5

9

，
∴AB=10
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
 AF=

AB2-BF2

=

100-36

=8
∵AE∥CD
∴四边形ACDP是平行四边形或梯形
y=

1

2

(CD+AP)CF
=

1

2

(x+9)×6
=3x+27（0＜x＜12.5）

（3）∵点P从点A出发沿线段AE方向向E点运动
∴P在线段AE上，
当P点在AF上时，使△PQF为等腰三角形，只有PQ=PF．
∵∠AQP=∠AFB∠QAP=∠FAB
∴△QAP～△FAB
∴

QP

FB

=

AP

AB

，
∴

PQ

6

=

x

10

，
∴PQ=

3

5

x
∵PF=8-x
∴

3

5

x=8-x
∴x=5；
当P在FE上时，使△PQF为等腰三角形，有：
①PQ=PF 
∵PQ=

3

5

x，FP=x-8
∴

3

5

x=x-8
∴x=20＞AE=12.5（舍去），
②PQ=FQ
作高线QG，则PG=

1

2

PF=

1

2

（x-8）
∵△PQG～△BAF，
∴

PG

BF

=

PQ

AB

，
∴

1 2 (x-8)

6

=

3 5 x

10

，
∴x=

200

7

＞AE=12.5（舍去）
③PF=FQ
∴∠FQP=∠FPQ，
∵∠AQP=90°．
∴∠FAQ+∠FPQ=∠FQA+∠FQP=90°
∴∠FAQ=∠FQA
∴AF=FQ=PF
∴8=x-8，
∴x=16＞AE=12.5（舍去）．
∴当x=5时，△PQF为等腰三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用及四边形的面积的运用，解答时利用相似三角形的性质对应边成比例求线段的长度是关键．