Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E。

（1）求证：AE=CE；
（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径；
（3）若=n（n>0），求sin∠CAB。

Answer 1

解：（1）证明：连接DE， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABE=90°， ∴AE是⊙O直径， ∴∠ADE=90°， ∴DE⊥AC， 又∵D是AC的中点， ∴DE是AC的垂直平分线， ∴AE=CE； （2）在△ADE和△EFA中， ∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE， ∴△ADE∽△EFA， ∴， ∴， ∴AE=2cm； （3）∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线， ∴∠ADE=∠AEF=90°， ∴Rt△ADE∽Rt△EDF， ∴， ∵，AD=CD， ∴CF=nCD， ∴DF=（1+n）CD， ∴DE=CD， 在Rt△CDE中，， ∴， ∵∠CAB=∠DEC， ∴sin∠CAB=sin∠DEC=。