题目内容
20．问题原型：如图①，在矩形ABCD中，AB=$\frac{1}{2}$BC=a，点E是BC边中点，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段A′E，易得△BA′E的面积为$\frac{1}{2}{a}^{2}$．初步探究：如图②，在Rt△ABC中，BC=a，∠ACB=90°，将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，用含a的代数式表示△BCE的面积，并说明理由．
简单应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=6，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，直接写出△BCE的面积．
分析 初步探究：作EF⊥BC于F，如图2，由旋转的性质得AB=EB，∠ABE=90°，再根据等角的余角相等得到∠A=∠EBF，则可根据“AAS”可判断△ABC≌△BEF，所以BC=EF=a，然后根据三角形面积公式可得到S△BCE═$\frac{1}{2}$a2；
简单应用：作AH⊥BC于H，连结EH，如图3，根据等腰三角形的性质得CH=BH=$\frac{1}{2}$BC=3，然后利用探究的结论得到S△BEH=$\frac{1}{2}$BH2=$\frac{9}{2}$，于是有S△BCE=2S△BEH=9．
解答 解：初步探究：△BCE的面积为$\frac{1}{2}$a2．理由如下：
作EF⊥BC于F，如图2，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，
∴AB=EB，∠ABE=90°，
∴∠ABC+∠EBF=90°，
∵∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠EBF，
在△ABC和△BEF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠EFB}\\{∠A=∠EBF}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BEF，
∴BC=EF=a，
∴S△BCE=$\frac{1}{2}$BC•EF=$\frac{1}{2}$a2；
简单应用：作AH⊥BC于H，连结EH，如图3，
∵AB=AC，
∴CH=BH=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，
∴S△BEH=$\frac{1}{2}$BH2=$\frac{9}{2}$，
∴S△BCE=2S△BEH=9．
点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是构建全等三角形．
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