Question

某村为增加蔬菜的种植面积，修建了一些蔬菜大棚．平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为9000．每公顷大棚的年平均经济收益为75000元，这个村中由于修建大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元．
（1）一年中修建大棚2公顷和

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公顷大棚的效益有什么差别？
（2）试确定修建多少公顷大棚收益最大？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：优选方案问题

分析：（1）设一年中这个村修建了x公顷蔬菜大棚，则一年中由于修建蔬菜大棚而增加的收益75000x-（27000x+9000x²），又一年中由于修建蔬菜大棚而增加的收益扣除修建费用后为60000元，根据由于修建x公顷蔬菜大棚而增加的收益是一定的为等量关系列出方程求解；可知两种情况下效益相同，但修建的公顷数越多占底越多，投资也越大；
（2）利用（1）的分析，可知设修建a公顷大棚的话，收益为75000a-（27 000a+9000a²），即收益是a的二次函数，利用二次函数的最值求法，即可求出答案．

解答：解：：（1）设一年中这个村修建了x公顷蔬菜大棚，由题意，得：
∵这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为9000，
∴这项费用为：9000x²，
75000x-（27000x+9000x²）=60000，
整理，得3x²-16x+20=0，
解得x₁=2，x₂=

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；
由此可知两种情况下效益相同，但修建的公顷数越多占底越多，投资也越大；

（2）设一年中这个村修建了a公顷蔬菜大棚（a＞0），
则修建蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为：75000a-（27000a+9000a²）元．
∵75000a-（27000a+9000a²）=-9000（a-

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）²+64000
∴当a=

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时，75 000a-（27 000a+9000a²）的值最大为64000元
答：这个村一年中应修建

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公顷大棚，收益达到最大64000元．

点评：本题主要考查一元二次方程与二次函数的应用，关键在于理解清楚题意，找出数量关系列出方程和函数求解．