题目内容

如图，直线y= $数学公式$ x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y= $数学公式$ x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x， $\text{[math]}$ x+3），得出DN= $\text{[math]}$ x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根据sin45°= $\text{[math]}$ 求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（ $\text{[math]}$ x+3）²+（-x）²= $\text{[math]}$ ，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tan∠AON= $\text{[math]}$ 求出即可．
解答：

过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，
∵N在直线y= $\text{[math]}$ x+3上，
∴设N的坐标是（x， $\text{[math]}$ x+3），
则DN= $\text{[math]}$ x+3，OD=-x，
y= $\text{[math]}$ x+3，
当x=0时，y=3，
当y=0时，x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
即OA=4，OB=3，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，
∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，
∴3×4=5OC，
OC= $\text{[math]}$ ，
∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，
∴∠MNO=45°，
∴sin45°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ON= $\text{[math]}$ ，
在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND²+DO²=ON²，
即（ $\text{[math]}$ x+3）²+（-x）²= $\text{[math]}$ ，
解得：x₁=- $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，
∵N在第二象限，
∴x只能是- $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ x+3= $\text{[math]}$ ，
即ND= $\text{[math]}$ ，OD= $\text{[math]}$ ，
tan∠AON= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选A．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强．