Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．以CD为直径作⊙O，交BC边于点E，连接OE，过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．
（1）求证：OE∥AB；
（2）探究线段 EH与AB的数量关系，并证明你的结论；
（3）若BH=1，EC=

3

，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）判断出∠B=∠OEC，根据同位角相等得出OE∥AB；
（2）连接OF，求出EH=OF=

1

2

DC=

1

2

AB；
（3）求出△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形AD∥BC，
∴AB=CD∠B=∠C，
∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，
∴∠OEC=∠B，
∴OE∥AB；

（2）答：EH=

1

2

AB，
连接OF，∵⊙O与AB相切于F，
∴OF⊥AB，
∵EH⊥AB于H，
∴∠OFB=∠EHB=90°，
∴OF∥EH，
∵OE∥AB，
∴四边形OEHF为平行四边形，
∴EH=OF=

1

2

CD，
∵AB=CD，
∴EH=

1

2

AB；

（3）连接DE，设⊙O的半径为r，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DEC=∠EHB=90°，
∵∠B=∠C，
∴△DEC∽△EHB，
∴

DE

EH

=

EC

BH

，
∵BH=1，EC=

3

，
∴DE=

3

EH=

3

r，
在Rt△DEC中DE²+EC²=CD²，
∴(

3

r)2+(

3

)2=(2r)2，
解得r=±

3

（负值舍去），
∴⊙O的半径为

3

．

点评：本题考查了圆的切线性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题．