题目内容
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．
1.求证：△DHQ∽△ABC；
2.求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
3.当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
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1.∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴
=90°，HD=HA，
∴
，
∴△DHQ∽△ABC．
2.①如图1，当
时，
ED=
，QH=
，
此时
．
当
时，最大值
．
②如图2，当
时，
ED=
，QH=
，
此时
．
当
时，最大值
．
∴y与x之间的函数解析式为
y的最大值是
．
3.①如图1，当
时，
若DE=DH，∵DH=AH=
， DE=，
∴=
，
．
显然ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
时，
若DE=DH，
=
，
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，；
若ED=EH，则△EDH∽△HDA，
∴
，
，
．
∴当x的值为
时，△HDE是等腰三角形
解析:
1.由两个对应角相等，满足了两个三角形相似的条件。
2.根据函数解析式可以求得函数最大值。
练习册系列答案
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