题目内容

如图（1）至图（3），C为定线段AB外一动点，以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF和正方形CBEG，分别作DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，垂足分别为D₁、E₁．当C的位置在直线AB的同侧变化过程中，
（1）如图（1），当∠ACB=90°，AC=4，BC=3时，求DD₁+EE₁的值；
（2）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD₁+EE₁的值为定值；
（3）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点．

解：（1）∵DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠EE₁B=∠ACB=90°，
∵四边形ACFD与BEGC是正方形，
∴∠DAC=∠CBE=90°，
∴∠DAD₁+∠CAB=∠CAB+∠CBA=∠CBA+∠EBE₁₌90°，
∴∠DAD₁=∠ABC，∠EBE₁=∠BAC，
∴△DD₁A∽△ACB，△EE₁B∽△BCA，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
∴DD₁+EE₁=5；

（2）过点C作CK⊥AB于K，
∵DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠EE₁B=∠AKC=∠BKC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠

EBE₁₌90°，
∴∠DAD₁=∠ACK，∠EBE₁=∠BCK，
∵AD=AC，BC=BE，
∴△ADD₁≌△CAK，△EBE₁≌△BCK，
∴DD₁=AK，EE₁=BK，
∴DD₁+EE₁=AB，
∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD₁+EE₁的值为定值；

（3）设M为DE的中点，Q为D₁E₁的中点，

则： $\text{[math]}$ 且MQ⊥AB，
当四边形DD₁E₁E为矩形时，以上结论仍然成立．
∴△ADD₁≌△CAK，△EBE₁≌△BCK，
又∵D₁A=CK=E₁B，
∴D₁E₁的中点就是AB的中点．
∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点，
∴此定点M恒在“点C的同侧，与AB的中点Q距离为 $\text{[math]}$ 长的点上”．
分析：（1）由正方形与垂线的性质，易证得：△DD₁A∽△ACB，△EE₁B∽△BCA，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得DD₁与EE₁的长，则可求得DD₁+EE₁的值；
（2）定线段AB长为定值；猜想DD₁+EE₁=AB；过点C作CH⊥AB，垂足为H；再通过两对全等三角形来证明DD₁+EE₁=AB即可；
（3）利用“梯形的中位线长等于两底和的一半”，设M为DE的中点，Q为D₁E₁的中点，MQ= $\text{[math]}$ AB且MQ⊥AB，特殊地，当四边形DD₁E₁E为矩形时，以上结论仍然成立．又因为可证明D₁A=E₁B，所以D₁E₁的中点就是AB的中点．所以，不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点，此定点M恒在“点C的同侧，与AB的中点Q距离为 $\text{[math]}$ 长的点上”．
点评：此题考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质，正方形的性质，以及梯形中位线的性质等知识．此题综合性很强，注意数形结合思想的应用．