Question

如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点在坐标轴上，，．动点从点出发，以的速度沿轴匀速向点运动，到达点即停止．设点运动的时间为．

（1）过点作对角线的垂线，垂足为点．求的长与时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）在点运动过程中，当点关于直线的对称点恰好落在对角线上时，求此时直线的函数解析式；

（3）探索：以三点为顶点的的面积能否达到矩形面积的？请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）（3）不能，理由见解析

【解析】解：（1）在矩形中，

，，

．……………………1分

　　　　，．

　　　　，即，．……3分

　　　　当点运动到点时即停止运动，此时的最大值为．

　　　　所以，的取值范围是．················ 4分

　　　　（2）当点关于直线的对称点恰好在对角线上时，三点应在一条直线上（如答图2）．……………………5分

　　　　，．

　　　　，

．

　　　　．点的坐标为．…………6分

　　　　设直线的函数解析式为．将点和点代入解析式，得解这个方程组，得

　　　　　此时直线的函数解析式是．········· 8分

（3）由（2）知，当时，三点在一条直线上，此时点　不构成三角形．

　　　　　故分两种情况：

　　　　　（i）当时，点位于的内部（如答图3）．

过点作，垂足为点，由

可得．

　　　　　

　　　　　．······· 10分

　　　　　若，则应有，即．

　　　　　此时，，所以该方程无实数根．

　　　　　所以，当时，以为顶点的的面积不能达到矩形面积的．    11分

　　　　　（ii）当时，点位于的外部．（如答图4）

　　　　　此时．········ 12分

　　　　　若，则应有，即．

　　　　　解这个方程，得，（舍去）．

　　　　　由于，．

　　　　　而此时，所以也不符合题意，故舍去．

　　　　　所以，当时，以为顶点的的面积也不能达到矩形面积的．

　　综上所述，以为顶点的的面积不能达到矩形面积的．

（1）找出三角形相似的条件，利用相似三角形的对应边成比例，求出边界值即可

       （2）用待定系数法，找出直线上两点坐标即可，由于，则，利用相似三角形的对应边成比例，求出点P的坐标

          （3）由于点是动点，以为顶点的的面积与点的位置有关，需分情况讨论，当时，找不到的值使得，当时，三点在一条直线上，则点不构成三角形，当时，也找不到的值使得，因此以为顶点的的面积不能达到矩形面积的