Question

5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B在x轴上，四边形OACB为平行四边形，且∠AOB=60°，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限内过点A，且与BC交于点F．当F为BC的中点，且S_△AOF=24$\sqrt{3}$时，点C的坐标为（10$\sqrt{2}$，4$\sqrt{6}$）．

Answer 1

分析 先设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据∠AOB=60°，得出AHAH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，OH=$\frac{1}{2}$a，求出S_△AOH的值，根据S_△AOF=24$\sqrt{3}$，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S_△OBF=12$\sqrt{3}$，最后根据S_{平行四边形AOBC}=OB•AH，得出OB=AC=12，即可求出点C的坐标；

解答 解：设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，
∵∠AOB=60°，
∴AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，OH=$\frac{1}{2}$a，
∴S_△AOH=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a•$\frac{1}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{8}$a²，
∵S_△AOF=24$\sqrt{3}$，
∴S_{平行四边形AOBC}=48$\sqrt{3}$，
∵F为BC的中点，
∴S_△OBF=12$\sqrt{3}$，
∵BF=$\frac{1}{2}$a，∠FBM=∠AOB，
∴FM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，BM=$\frac{1}{4}$a，
∴S_△BMF=$\frac{1}{2}$BM•FM=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{1}{4}$a=$\frac{\sqrt{3}}{32}$a²，
∴S_△FOM=S_△OBF+S_△BMF=12$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{32}$a²，
∵点A，F都在y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴S_△AOH=$\frac{1}{2}$k，
∴$\frac{\sqrt{3}}{8}$a²=12$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{32}$a²，
∴a=8$\sqrt{2}$，
∴OA=8$\sqrt{2}$，
∴OH=4$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{3}$OH=$\sqrt{3}$×4$\sqrt{2}$=4$\sqrt{6}$，
∵S_{平行四边形AOBC}=OB•AH=48$\sqrt{3}$，
∴OB=AC=6$\sqrt{2}$，
∴C（10$\sqrt{2}$，4$\sqrt{6}$）．
故答案为：（10$\sqrt{2}$，4$\sqrt{6}$）．

点评 此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想，