Question

（2012•孝感）如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R．

Answer 1

分析：（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论．
（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出半径．

解答：（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，
∵AM切⊙O于点A，
∴OA⊥AD，
又∵DO平分∠ADC，
∴OE=OA，
∵OA为⊙O的半径，
∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴四边形ABFD是矩形，
∴AD=BF，AB=DF，
又∵AD=4，BC=9，
∴FC=9-4=5，
∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，
∴DA=DE，CB=CE，
∴DC=AD+BC=4+9=13，
在Rt△DFC中，DC²=DF²+FC²，
∴DF=

DC2-FC2

=

132-52

=12，
∴AB=12，
∴⊙O的半径R是6．

点评：此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质，难度一般．