Question

如图，抛物线y=-

1

3

x²+

4

3

x+1与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，连AB，点P在y轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P和Q，使四边形ABPQ为矩形？若存在，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：先令x=0，求出y的值得到AO的长度，根据对称轴解析式求出OB的长度，根据矩形的四个角都是直角可得∠ABP=90°，然后求出∠BAO=∠PBO，从而得到△AOB和△BOP相似，利用相似三角形对应边成比例求出OP的长度，再根据矩形的对称性求出矩形的中心C的坐标，然后求出点Q的坐标，再根据二次函数图象上点的坐标特征把点Q的坐标代入抛物线解析式进行验证即可．

解答：解：存在点P（0，-4），Q（-2，-3），使四边形ABPQ为矩形．
理由如下：令x=0，则y=1，
∴AO=1，
∵抛物线对称轴为直线x=-

4 3

2×(- 1 3 )

=2，
∴OB=2，
∵四边形ABPQ为矩形，
∴∠ABO+∠PBO=∠ABP=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠PBO，
又∵∠AOB=∠BOP=90°，
∴△AOB∽△BOP，
∴

AO

OB

=

OB

OP

，
即

1

2

=

2

OP

，
解得OP=4，
∴点P的坐标为（0，-4），
∴AP的中点，即矩形的中心C的坐标是（0，-1.5），
设点Q（x，y），则

x+2

2

=0，

y+0

2

=-1.5，
解得x=-2，y=-3，
∴点Q的坐标为（-2，-3），
当x=-2时，y=-

1

3

×（-2）²+

4

3

×（-2）+1=-

4

3

-

8

3

+1=-4+1=-3，
∴点Q在抛物线y=-

1

3

x²+

4

3

x+1上，
故存在点P（0，-4），Q（-2，-3），使四边形ABPQ为矩形．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中心对称的点的坐标求出以及二次函数图象上点的坐标特征，利用中心对称求出点Q的坐标是解题的关键．