Question

（2010•北海）如图，在直角坐标系xoy中，∠OA₀A₁=90°，OA₀=A₀A₁=1，以OA₁为直角边作等腰Rt△OA₁A₂，再以OA₂为直角边作等腰Rt△OA₂A₃，…，以此类推，则 A₂₁点的坐标为

（-2¹⁰，-2¹⁰）

．

Answer 1

分析：根据等腰直角三角形的性质得到OA₁=

2

，OA₂=（

2

）²，…，OA₂₁=（

2

）²¹，再利用A₀、A₁、A₂、…，每8个一循环，再回到x的正半轴的特点可得到点A₂₁在第三象限，再利用等腰直角三角形的性质得到点A₂₁到x轴和y轴的距离相等，都等于

2

2

×（

2

）²¹=2¹⁰，最后根据各象限点的坐标特点即可确定点A₂₁的坐标．

解答：解：∵∠OA₀A₁=90°，OA₀=A₀A₁=1，以OA₁为直角边作等腰Rt△OA₁A₂，再以OA₂为直角边作等腰Rt△OA₂A₃，…，
∴OA₁=

2

，OA₂=（

2

）²，…，OA₂₁=（

2

）²¹，
∵A₀、A₁、A₂、…，每8个一循环，再回到x的正半轴，
而21+1=2×8+5，
∴点A₂₁在第三象限，
而OA₂₁=（

2

）²¹，
∴点A₂₁到x轴和y轴的距离相等，都等于

2

2

×（

2

）²¹=2¹⁰，
∴点A₂₁的坐标为（-2¹⁰，-2¹⁰）．
故答案为（-2¹⁰，-2¹⁰）．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的

2

倍．也考查了直角坐标系中各象限的坐标特点以及点的位置的变化规律的探究．