题目内容
(2010•北海)如图,已知⊙O上A、B、C三点,∠BAC=30°,D是OB延长线上的点,∠BDC=30°,⊙O半径为
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(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)如果AC∥BD,证明四边形ACDB是平行四边形,并求其周长;
(3)在图1中,如果AO⊥BO,BO与AC交于E,如图2,求S△ABC:S△AEB的值.
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(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)如果AC∥BD,证明四边形ACDB是平行四边形,并求其周长;
(3)在图1中,如果AO⊥BO,BO与AC交于E,如图2,求S△ABC:S△AEB的值.
分析:(1)连接OC,根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=60°,而∠BDC=30°,则∠DCO=90°,根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)由AC∥BD得∠ABO=∠BAC=30°,而∠BDC=30°,则∠ABO=∠BDC,可得到AB∥CD,根据平行四边形的判定即可得到四边形ACDB是平行四边形;在Rt△CDO中,∠BDC=30°,OC=
,根据含30°的直角三角形三边的关系得到OD=2OC=2
,CD=
OC=
,则DB=OD-OB=
,利用平行四边形ABDC的周长=2(DB+DC)计算即可;
(3)由AO⊥BO,OA=OB得到∠ACB=
∠AOB=45°,∠ABO=45°,根据等腰直角三角形的性质得到AB=
OA=2,而∠CAB=∠BAE,∠ACB=∠ABO,根据相似三角形的判定得到
△ABC∽△AEB,利用其性质得到S△ABC:S△AEB=AC2:AB2;过点B作BF⊥AC,垂足为F,在Rt△ABF中,∠BAF=30°,根据含30°的直角三角形三边的关系得到BF=
AB=
×2=1,AF=
BF=
,
,并且CF=BF=1,则AC=AF+CF=
+1,计算S△ABC:S△AEB=AC2:AB2,=(
+1)2:22即可.
(2)由AC∥BD得∠ABO=∠BAC=30°,而∠BDC=30°,则∠ABO=∠BDC,可得到AB∥CD,根据平行四边形的判定即可得到四边形ACDB是平行四边形;在Rt△CDO中,∠BDC=30°,OC=
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(3)由AO⊥BO,OA=OB得到∠ACB=
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△ABC∽△AEB,利用其性质得到S△ABC:S△AEB=AC2:AB2;过点B作BF⊥AC,垂足为F,在Rt△ABF中,∠BAF=30°,根据含30°的直角三角形三边的关系得到BF=
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,并且CF=BF=1,则AC=AF+CF=
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解答:(1)证明:连接OC,如图1,
∵∠A=30°,
∴∠BOC=60°,
又∵∠BDC=30°
∴∠DCO=90°,
∴CD是⊙的切线;
(2)证明:
∵AC∥BD,
∴∠ABO=∠BAC=30°,
而∠BDC=30°,
∴∠ABO=∠BDC,
∴AB∥CD,
∴四边形ABDC是平行四边形;
在Rt△CDO中,
∵∠BDC=30°,OC=
∴OD=2OC=2
,CD=
OC=
,
∴DB=OD-OB=
,
∴平行四边形ABDC的周长=2(DB+DC)=2(
+
);
(3)解:∵AO⊥BO,OA=OB,
∴∠ACB=
∠AOB=45°,∠ABO=45°,
∴AB=
OA=2,
又∵∠CAB=∠BAE,∠ACB=∠ABO,
∴△ABC∽△AEB,
∴S△ABC:S△AEB=AC2:AB2,
过点B作BF⊥AC,垂足为F,如图2,
在Rt△ABF中,∠BAF=30°,
∴BF=
AB=
×2=1,AF=
BF=
,
∵△BCF为等腰直角三角形,
∴CF=BF=1,
∴AC=AF+CF=
+1,
∴S△ABC:S△AEB=AC2:AB2,=(
+1)2:22=
.
∵∠A=30°,
∴∠BOC=60°,
又∵∠BDC=30°
∴∠DCO=90°,
∴CD是⊙的切线;
(2)证明:
∵AC∥BD,
∴∠ABO=∠BAC=30°,
而∠BDC=30°,
∴∠ABO=∠BDC,
∴AB∥CD,
∴四边形ABDC是平行四边形;
在Rt△CDO中,
∵∠BDC=30°,OC=
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∴OD=2OC=2
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∴DB=OD-OB=
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∴平行四边形ABDC的周长=2(DB+DC)=2(
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(3)解:∵AO⊥BO,OA=OB,
∴∠ACB=
1 |
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∴AB=
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又∵∠CAB=∠BAE,∠ACB=∠ABO,
∴△ABC∽△AEB,
∴S△ABC:S△AEB=AC2:AB2,
过点B作BF⊥AC,垂足为F,如图2,
在Rt△ABF中,∠BAF=30°,
∴BF=
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∵△BCF为等腰直角三角形,
∴CF=BF=1,
∴AC=AF+CF=
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∴S△ABC:S△AEB=AC2:AB2,=(
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点评:本题考查了相似三角形的判定与性质:有两组角对应相等的两个三角形相似;相似三角形面积的比等于相似比的平方.也考查了圆周角定理、含30°的直角三角形三边的关系、等腰直角三角形的性质、切线的判定定理以及平行四边形的判定定理.
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