Question

（2010•北海）如图，在△OAB中，AO=AB，∠OAB=90°，点B坐标为（10，0）．过原点O的抛物线，又过点A和G，点G坐标为（7，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）边OB上一动点T（t，0），（T不与点O、B重合）过点T作OA、AB的垂线，垂足分别为C、D．设△TCD的面积为S，求S的表达式（用t表示），并求S的最大值；
（3）已知M（2，0），过点M作MK⊥OA，垂足为K，作MN⊥OB，交点OA于N．在线段OA上是否存在一点Q，使得Rt△KMN绕点Q旋转180°后，点M、K恰好落在（1）所求抛物线上？若存在请求出点Q和抛物线上与M、K对应的点的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据△OAB是等腰直角三角形，OB=10，得出点A的坐标，再设抛物线的解析式为y=ax²+bx，把点A和G代入求出a，b的值，即可求出抛物线的解析式；
（2））根据∠OAB=90°，TC⊥OA，TD⊥AB，得出四边形ACTD为矩形，再根据△OAB为等腰直角三角形，得出△OCT、△TDB均为等腰直角三角形，再根据OT=t，OB=10，得出CT和TD的值，即可求出S的表达式和S的最大值；
（3）根据△OMK是等腰直角三角形，点M（2，0），MK⊥OA，得出点K的坐标，设出Rt△KMN旋转后对应三角形是Rt△K'M'N'，由题意可知，K'与A重合，得出K'和Q点的坐标，再根据Rt△KMN≌Rt△K'M'N'，MK∥M'K'，得出点M'坐标，即可求出解析式，从而得出它们的对应点的坐标．

解答：解（1）∵△OAB是等腰直角三角形，OB=10，
∴点A的坐标为（5，5），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx，
把点A（5，5）和点G（7，0）．
代入上式，
得

5=25a+5b 0=49a+7b

，
解得：

a=- 1 2 b= 7 2

，
抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+

7

2

x；

（2）∵∠OAB=90°，TC⊥OA，TD⊥AB，
∴四边形ACTD为矩形，
又∵△OAB为等腰直角三角形，
∴△OCT、△TDB均为等腰直角三角形，
∵OT=t，OB=10，
∴CT=

t

2

，TD=

10-t

2

，
∴S=

1

2

S矩形ACTD=

1

2

•TC•TD=

1

2

•

t

2

•

10-t

2

=-

1

4

t2+

5

2

t，
∵S=-

1

4

t2+

5

2

t=-

1

4

(t-5)2+

25

4

，
∴当t=5 时，S的最大值为

25

4

；

（3）存在．
∵△OMK是等腰直角三角形，点M（2，0），MK⊥OA，
∴点K的坐标为（1，1），
设 Rt△KMN旋转后对应三角形是Rt△K′M′N′
由题意可知，K'与A重合
∴点K'的坐标为（5，5），
∵Q点在OA上，且是KA的中点，
∴Q点的坐标为（3，3），
又∵Rt△KMN≌Rt△K′M′N′，且MK∥M′K′
∴点M'坐标为（4，6），
把 x=4 代入y=-

1

2

x2+

7

2

x得y=-

1

2

×42+

7

2

×4=6，
∴点M'（4，6）在抛物线y=-

1

2

x2+

7

2

x上，
∴点Q的坐标是（3，3），抛物线上与M、K对应的点的坐标分别是M′（4，6）、K′（5，5）．

点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用；此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题．