Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点P为BC边上一动点，PE⊥AB，PF⊥CD，问PE+PF的值是否为一定值？若为一定值，求出这个定值；若不为定值，求出这个值的取值范围．

Answer 1

分析：过P作PH⊥BG，把BG分成两段，根据矩形得到PF=HG，再证明△BPH和△PBE全等得到PE=BH，所以PE+PF=BG．

解答：解：能．
证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，
∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，
∴四边形PHGF是矩形，
∴PF=HG，PH∥CD，
∴∠BPH=∠C，
在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，
∴∠PBE=∠BPH，
∵∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，∠PBE=∠BPH，
∴△PBE≌△BPH（AAS）
∴PE=BH，
∴PE+PF=BH+HG=BG．
故PE+PF的值是为一定值．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，难度较大，主要利用“截长补短法”的截长，即把较长的线段截为两段，再分别证明线段相等，从而问题得以解决．