Question

8．如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在该抛物线的对称轴上存在一点P，使得PC=PB，请求出符合条件的点P的坐标，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A、B、C三点的坐标可以求得抛物线的解析式；
（2）由点P在抛物线的对称轴上，由第一问中可求得抛物线的对称轴，从而可知点P的横坐标，根据PC=PB可以求得点P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=2，c=3．
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．
（2）点P的坐标为（1，1）．
理由：由（1）知抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，
∴抛物线的对称轴为：x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1．
∵点P在抛物线的对称轴上，设点P的坐标为（1，y），
又∵PC=PB，B（3，0），C（0，3），
∴$\sqrt{（3-y）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{（0-y）^{2}+（{3-1）}^{2}}$．
解得y=1．
故点P的坐标为（1，1）．

点评 本题考查求抛物线的解析式和探究性问题，关键是明确题意，进行正确分析，从而解答本题．