Question

5．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（-1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=$\sqrt{3}$，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为4．

Answer 1

分析 首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时（QC⊥AB，C为垂足），点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．

解答 解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，
∴AB=2，BO=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为$\sqrt{3}$，
②如图3所示，QC⊥AB，则∠ACQ=90°，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，
当点P从B→C时，
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°-60°=30°
∴cos30°=$\frac{CQ}{AQ}$
∴AQ=$\frac{CQ}{cos30°}$=2
∴OQ=2-1=1
则点Q运动的路程为QO=1，
③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2-$\sqrt{3}$，
④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，
∴点Q运动的总路程为：$\sqrt{3}$+1+2-$\sqrt{3}$+1=4
故答案为：4

点评 本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．