Question

23、如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连接AC、BF，
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）请你添加一个条件，使四边形ABFC是菱形，并进行说明．

Answer 1

分析：（1）根据点E是BC的中点即可求出BE=CE，又知AB∥CD，故可得∠1=∠2，∠3=∠4，于是证得△ABE≌△FCE，进一步得到AB=CF，结合梯形的知识即可证得四边形ABFC是平行四边形，
（2）该问答案不唯一，添加条件可为：AC=CF或AF平分∠BAC或AE⊥BC，根据菱形的判定定理即可证得四边形ABFC是菱形．

解答：证明：（1）∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
又∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
又∵梯形ABCD中 AB∥CD，
∴四边形ABFC是平行四边形．

（2）添加条件（不唯一）可为：AC=CF．
由（1）可知：四边形ABFC是平行四边形，
∵AC=AB，
∴平行四边形ABFC是菱形．
注意：还可以添加条件：AF平分∠BAC或AE⊥BC等．

点评：本题主要考查梯形、平行四边形和菱形的判定及全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握各种四边形的性质以及判定方法，此题难度不大，特别是第二问答案不唯一．