题目内容
如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．
考点：
等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形．
分析：
（1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=
CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH；
（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S△PCE，S△APF，S△ABC，再根据S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答．
解答：
（1）证明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵PE∥AB，
∴∠CPE=∠A，
∴∠CPE=∠C，
∴△PCE是等腰三角形；
（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，
∴CM=CP=
，tanC=tanA=k，
∴EM=CM•tanC=•k=
，
同理：FN=AN•tanA=
•k=4k﹣，
由于BH=AH•tanA=
×8•k=4k，
而EM+FN=
+4k﹣=4k，
∴EM+FN=BH；
（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，
所以，S△PCE=x•2x=x2，S△APF=（8﹣x）•（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=×8×16=64，
S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，
=64﹣x2﹣（8﹣x）2，
=﹣2x2+16x，
配方得，S=﹣2（x﹣4）2+32，
所以，当x=4时，S有最大值32．
点评：
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点．
26、已知：如图，△ABC中，点D在AC的延长线上，CE是∠DCB的角平分线，且CE∥AB．
27、已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°，D、E两点在直线BC上，连接AD、AE．
27、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DN⊥AC于N，DM⊥AB于M
14、如图，△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C的大小是（ ）
已知，如图，△ABC中，点D在BC上，且∠1=∠C，∠2=2∠3，∠BAC=70°．