Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）与点C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．

（1）直接写出B点的坐标；

（2）求该二次函数的解析式；

（3）若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，AB．请问是否存在点P，使得△BDP的面积恰好等于△ADB的面积？若存在请求出此时点P的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0，﹣4）；（2）y＝x2﹣x﹣4；（3）存在，（，-）

【解析】

（1）利用待定系数法求抛物线的解析式，再确定B（0，﹣4）；

（2）利用（1）可以得到答案；

（3）连接OP，如图，设P（m，m2﹣m﹣4）（0＜m＜8），利用S△PBD＝S△POD+S△POB﹣S△BOD＝×3×（﹣m2+m+4）+×4×m﹣×3×4＝×5×4得到关于m的方程，然后解方程求出m即可得到P点坐标．

解：（1）把A（﹣2，0）和C（8，0）代入y＝ax2+bx﹣4，得 ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；

当x＝0时，y＝x2﹣x﹣4＝﹣4，则B（0，﹣4），

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；

（3）存在．

∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣3）2﹣，

∴抛物线的对称轴为直线x＝3，

∴D（3，0）．

由（1）知， `B（0，﹣4）．

连接OP，如图，设P（m，m2﹣m﹣4）（0＜m＜8），

∵S△PBD＝S△POD+S△POB﹣S△BOD，S△ABD＝×5×4＝10，

而△BDP的面积恰好等于△ADB的面积，

∴×3×（﹣m2+m+4）+×4×m﹣×3×4＝×5×4，

整理得3m2﹣34m+80＝0，解得m1＝，m2＝8（舍去），

∴P点坐标为（，-）．