如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A.交x轴正半轴于点B(4.0).与过A点的直线相交于另一点D.过点D作DC⊥x轴.垂足为C．(1)求抛物线的表达式,(2)点P在线段OC上.过P作PN⊥x轴.交直线AD于M.交抛物线于点N.连接CM.求△PCM面积的最大值,(3)若P是x轴正半轴上的一动点.设OP的长为t.是否存在t.使以点M.C.D.N为顶点的四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，$\frac{5}{2}$），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）把B（4，0），点D（3，$\frac{5}{2}$）代入y=ax²+bx+1即可得出抛物线的解析式；
（2）先用含t的代数式表示P、M坐标，再根据三角形的面积公式求出△PCM的面积与t的函数关系式，然后运用配方法可求出△PCM面积的最大值；
（3）若四边形DCMN为平行四边形，则有MN=DC，故可得出关于t的二元一次方程，解方程即可得到结论．

解答解：（1）把点B（4，0），点D（3，$\frac{5}{2}$），代入y=ax²+bx+1中得，$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+1=0}\\{9a+3b+1=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{11}{4}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{11}{4}$x+1；
（2）设直线AD的解析式为y=kx+b，
∵A（0，1），D（3，$\frac{5}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{3k+b=\frac{5}{2}}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
设P（t，0），
∴M（t，$\frac{1}{2}$t+1），
∴PM=$\frac{1}{2}$t+1，
∵CD⊥x轴，
∴PC=3-t，
∴S_△PCM=$\frac{1}{2}$PC•PM=$\frac{1}{2}×$（3-t）（$\frac{1}{2}$t+1），
∴S_△PCM=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{1}{4}$t+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{4}$（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{16}$，
∴△PCM面积的最大值是$\frac{25}{16}$；
（3）∵OP=t，
∴点M，N的横坐标为t，
设M（t，$\frac{1}{2}$t+1），N（t，-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{11}{4}$t+1），
∴|MN|=|-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{11}{4}$t+1-$\frac{1}{2}$t-1|=|-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{9}{4}$t|，CD=$\frac{5}{2}$，
如图1，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN=CD，即-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{9}{4}$t=$\frac{5}{2}$，
∵△=-39，
∴方程-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{9}{4}$t=$\frac{5}{2}$无实数根，
∴不存在t，
如图2，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN=CD，即$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{4}$t=$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{9+\sqrt{201}}{6}$，（负值舍去），
∴当t=$\frac{9+\sqrt{201}}{6}$时，以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形．